【DS-007】確率密度関数と定積分

DS検定リテラシーレベルの出題範囲である203個のスキル（DS協会制定）

【DS7】積分と面積の関係を理解し、確率密度関数を定積分することで確率が得られることを説明できる

積分

解説

積分とは、関数の面積や体積などを求める数学的な操作のことです。

積分は、不定積分と定積分の2種類に分けられます。

不定積分は関数の原始関数を求め、定積分は関数が指定された区間で囲む面積を求めます。

具体例

関数 \(f(x) = x^2\) の不定積分を計算します：

\[
\int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} + C
\]

ここで \(C\) は積分定数です。

不定積分

解説

不定積分とは、関数の原始関数を求める操作のことです。

不定積分は次のように表されます：

\[
\int f(x) \, dx
\]

ここで、\(\int\) は積分記号、\(f(x)\) は被積分関数、\(dx\) は積分変数です。

具体例

関数 \(f(x) = 3x^2\) の不定積分を計算します：

\[
\int 3x^2 \, dx = x^3 + C
\]

定積分

解説

定積分とは、関数 \(f(x)\) がある区間 \([a, b]\) で囲む面積を求める操作のことです。

定積分は次のように表されます：

\[
\int_a^b f(x) \, dx = F(b) – F(a)
\]

ここで、\(F(x)\) は \(f(x)\) の原始関数です。

具体例

関数 \(f(x) = x^2\) の区間 \([1, 3]\) での定積分を計算します：

\[
\int_1^3 x^2 \, dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_1^3 = \frac{3^3}{3} – \frac{1^3}{3} = \frac{27}{3} – \frac{1}{3} = \frac{26}{3}
\]

原始関数

解説

原始関数とは、ある関数を微分することで元の関数に戻る関数のことです。

関数 \(F(x)\) が \(f(x)\) の原始関数であるとき：

\[
F'(x) = f(x)
\]

具体例

関数 \(f(x) = x^2\) の原始関数は：

\[
F(x) = \frac{x^3}{3} + C
\]

被積分関数

解説

被積分関数とは、積分記号の中に含まれる関数のことです。

積分式：

\[
\int x^2 \, dx
\]

では、\(x^2\) が被積分関数です。

具体例

積分式：

\[
\int (2x + 1) \, dx
\]

では、\(2x + 1\) が被積分関数です。

区間の面積や体積

解説

定積分を用いることで、関数が指定された区間で囲む面積や体積を計算できます。

特に、回転体の体積は次の式で求められます：

\[
V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 \, dx
\]

具体例

関数 \(f(x) = x\) を \(x \in [0, 2]\) の範囲で回転させた体積を求めます：

\[
V = \pi \int_0^2 x^2 \, dx = \pi \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2 = \pi \left(\frac{2^3}{3} – \frac{0^3}{3}\right) = \frac{8\pi}{3}
\]

確率密度関数

解説

確率密度関数とは、確率分布を表す関数で、積分することで確率を求めることができます。

確率密度関数 \(f(x)\) に対して、区間 \([a, b]\) の確率は：

\[
P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(x) \, dx
\]

具体例

確率密度関数 \(f(x) = 2x, \, (0 \leq x \leq 1)\) の区間 \([0, 0.5]\) の確率を求めます：

\[
P(0 \leq X \leq 0.5) = \int_0^{0.5} 2x \, dx = \left[x^2\right]_0^{0.5} = (0.5)^2 – 0^2 = 0.25
\]